Teorema de Stevin - Pressão
hidrostática - Vasos comunicantes
Pressão no interior de um líquido
em repouso
Considere um fluido (líquidos e
gases que fluem para as regiões inferiores de um recipiente até preenchê-los
totalmente) em equilíbrio (vertical e horizontal) no interior de um recipiente.
Esse líquido exerce sobre as paredes do recipiente que o
contem forças que se tornam de maior intensidade à medida que a profundidade
aumenta.
Observe que as forças, na mesma horizontal, em ambos os
extremos, tem a mesma intensidade, pois o líquido está em equilíbrio
horizontal, caso contrário, ele se moveria nessa direção.
Observe a figura abaixo onde, quem varia é apenas a pressão
vertical, onde o líquido que é homogêneo e incompressível está em equilíbrio.
Na superfície livre superior (A) desse líquido age a pressão
atmosférica (Patm), exercida pela coluna de ar que está
sobre ele. Num ponto qualquer B do interior do líquido, a pressão (PB)
que age é a soma da pressão atmosférica com a pressão exercida pela coluna
líquida acima dele, devido à seu peso.
PB=Patm + Plíquido --- PB=Patm
+ F/S --- PB= Patm + peso do líquido/S --- PB=Patm
+ (mlíquido.g)/S --- dlíquido=mlíquido/Vlíquido
--- dlíquido=mlíquido/S.h --- mlíquido=dlíquido.S.h
--- PB=Patm + (dlíquido.S.h)/S --- PB=Patm+
dlíquido.g.h --- esta expressão é chamada de Teorema Fundamental
da Hidrostática ou de Teorema de Stevin
O que você deve saber
A pressão no ponto B devida
apenas à coluna líquida Plíquido=dlíquido.g.h é chamada
de pressão hidrostática e PB=Patm + dlíquido.g.h
é chamada de pressão total, pressão absoluta ou simplesmente pressão. A pressão exercida por uma
coluna líquida não depende das dimensões do recipiente que a contém, mas apenas
da natureza do líquido, fornecida pela sua densidade (d), do local (g) e da
altura da coluna (h). O gráfico da pressão total P em
função da altura “profundidade” h, (P=Patm+ d.g.h, que é uma função
do primeiro
grau)), é uma reta inclinada.
Como a pressão devido á coluna
líquida é maior quanto maior for a profundidade, a estrutura de uma barragem é 
mais espessa na parte inferior, para suportar maiores
pressões.
Uma das conseqüências do teorema
de Stevin é de que todos os pontos de uma superfície horizontal (a uma mesma
altura h) suportam a mesma pressão, desde que o líquido seja o mesmo.
Uma das utilidades práticas dessa conseqüência são os vasos
comunicantes onde um mesmo líquido que está em recipientes de formatos e
volumes diferentes, interligados entre si, ficam sempre na mesma altura,
pois suportam a mesma pressão
hidrostática de Ph=2,0.105Pa ou 2atm.
A pressão total deve ser acrescida da pressão atmosférica na superfície --- Pt=105Pa
+ 2.105Pa=3.105Pa ou de 3 atm.
Ao se tomar um refrigerante num
copo com canudo, o líquido sobe em direção à sua boca, em virtude de a pressão
atmosférica ser maior que a pressão na boca e
"empurrar" o líquido no canudo, quando se aspira, e retira o ar do
tubo.
Princípio de Arquimedes (EMPUXO)
Contam os livros, que o sábio grego Arquimedes
(282-212 AC) descobriu, enquanto tomava banho, que um corpo imerso na água se torna mais
leve devido a uma força, exercida pelo líquido sobre o corpo, vertical e para cima, que
alivia o peso do corpo. Essa força, do líquido sobre o corpo, é denominada empuxo (
).
).
Portanto, num corpo que se encontra imerso em um líquido, agem duas
forças: a força peso (
) , devida à
interação com o campo gravitacinal terrestre, e a força de empuxo () , devida à sua interação com o líquido.
) , devida à
interação com o campo gravitacinal terrestre, e a força de empuxo () , devida à sua interação com o líquido.
Arquimedes (282-212 AC).Inventor e matemático grego.
Quando um corpo está totalmente imerso em um líquido, podemos ter as
seguintes condições:
* se ele permanece parado no ponto onde foi colocado, a intensidade da
força de empuxo é igual à intensidade da força peso (E = P);
* se ele afundar, a intensidade da força de empuxo é menor do que
a intensidade da força peso (E < P); e
* se ele for levado para a superfície, a intensidade da força de
empuxo é maior do que a intensidade da força peso (E > P) .
Para saber qual das três situações irá ocorrer, devemos enunciar o
princípio de Arquimedes:
Todo corpo mergulhado num fluido (líquido ou gás) sofre, por parte
do fluido, uma força vertical para cima, cuja intensidade é igual ao peso do fluido
deslocado pelo corpo.
Seja Vf o volume de fluido deslocado pelo corpo. Então
a massa do fluido deslocado é dada por:
mf = dfVf
A intensidade do empuxo é igual à do peso dessa massa
deslocada:
E = mfg = dfVfg
Para corpos totalmente imersos, o volume de fluido deslocado é
igual ao próprio volume do corpo. Neste caso, a intensidade do peso do corpo e do empuxo
são dadas por:
P = dcVcg e E = dfVcg
Comparando-se as duas expressões observamos que:
* se dc > df , o corpo desce em movimento
acelerado (FR = P – E);
* se dc < df , o corpo sobe em movimento
acelerado (FR = E – P);
* se dc = df , o corpo encontra-se em
equilíbrio.
Quando um corpo mais denso que um líquido é totalmente imerso nesse
líquido, observamos que o valor do seu peso, dentro desse líquido , é aparentemente
menor do que no ar. A diferença entre o valor do peso real e do peso aparente corresponde
ao empuxo exercido pelo líquido:
Paparente = Preal - E
Exemplo:
Um objeto com massa de 10 kg e volume de 0,002 m3 é
colocado totalmente dentro da água (d = 1 kg/L).
a) Qual é o valor do peso do objeto ?
b) Qual é a intensidade da força de empuxo que a água exerce no
objeto ?
c) Qual o valor do peso aparente do objeto ?
d) Desprezando o atrito com a água, determine a aceleração do
objeto.
(Use g = 10 m/s2.)
Resolução:
a) P = mg = 10.10 = 100N
b) E = dáguaVobjetog = 1.000 x 0,002 x 10 è E = 20N
c) Paparente = P – E = 100 – 20 = 80N
d) FR = P – E è a=8,0
m/s2 (afundará, pois P > E)
Flutuação
Para um corpo flutuando em um líquido, temos as condições a
seguir.
1) Ele encontra-se em equilíbrio:
E = P
2) O volume de líquido que ele desloca é menor do que o seu
volume:
Vdeslocado < Vcorpo
3) Sua densidade é menor do que a densidade do líquido:
dcorpo < dlíquido
4) O valor do peso aparente do corpo é nulo:
Paparente = P – E = O
A relação entre os volumes imerso e total do corpo é dada por:
E = P è dliquidoVimersog
= dcorpoVcorpog è 
Exemplo:
Um bloco de madeira (dc = 0,65 g/cm3), com 20 cm
de aresta, flutua na água (dagua = 1,0 g/c3) . Determine a altura
do cubo que permanece dentro da água.
Resolução:
Como o bloco está flutuando, temos que E = P e , sendo V = Abaseh , escrevemos:
è 
Como hcorpo = 20 cm, então himerso = 13 cm.
Exercícios:
1. Um corpo está flutuando em um líquido. Nesse caso
(A) o empuxo é menor que o peso.
(B) o empuxo é maior que o peso.
(C) o empuxo é igual ao peso.
(D) a densidade do corpo é maior que a do líquido.
(E) a densidade do corpo é igual a do líquido
(B) o empuxo é maior que o peso.
(C) o empuxo é igual ao peso.
(D) a densidade do corpo é maior que a do líquido.
(E) a densidade do corpo é igual a do líquido
2. Uma pedra, cuja a massa específica é de 3,2 g / cm3, ao
ser inteiramente submersa em determinado líquido, sofre um perda aparente de peso, igual
à metade do peso que ela apresenta fora do líquido. A massa específica desse líquido
é, em g / cm3,
(A) 4,8
(B) 3,2
(C) 2,0
(D) 1,6
(E) 1,2
(B) 3,2
(C) 2,0
(D) 1,6
(E) 1,2
3. Um ovo colocado num recipiente com água vai até o fundo, onde fica
apoiado, conforme a figura . Adicionando-se sal em várias concentrações, ele assume as
posições indicadas nas outras figuras B, C, D e E .
A situação que indica um empuxo menor do que o peso do ovo é a da
figura
(A) A
(B) B
(C) C
(D) D
(E) E
(B) B
(C) C
(D) D
(E) E
4. Uma esfera maciça e homogênea, de massa específica igual a
2,4 g/cm3, flutua mantendo 20% do seu volume acima da superfície livre de um
líquido. A massa específica desse líquido, em g/cm3 , é igual a
(A) 1,9(B) 2,0
(C) 2,5
(D) 3,0
(E) 12,0
5. interior de um recipiente encontra-se um corpo em equilíbrio
mergulhado num líquido de densidade 0,8 g/cm3, conforme a figura. Se este
mesmo corpo for colocado em outro recipiente, contendo água ( densidade igual a 1g/cm3)
podemos afirmar que
(B) o corpo continuará em equilíbrio, totalmente submerso.
(C) o corpo não flutuará.
(D) o corpo flutuará com mais da metade do volume submerso.
(E) o corpo flutuará com menos da metade do volume submerso.
Pressão num fluído
Por exemplo, quando aplicamos num cilindro uma força (com a mão) de 10N sobre uma área de 20 cm2, a pressão será:
 Pressão atmosférica
É
um fato muito conhecido, por parte dos mergulhadores, que à medida que
mergulhamos mais fundo no mar a pressão aumenta. Qualquer objeto imerso
num fluido fica submetido a uma pressão e essa pressão aumenta na medida
em que o submergimos buscando profundidades maiores.
Os seres vivos na superfície da Terra (bem como os inanimados) experimentam uma pressão. Essa pressão decorre do fato de estarmos submersos dentro de um fluido que é uma mistura de gases. Essa mistura de gases que envolve a Terra é a sua atmosfera. Por isso, a pressão desse fluido é conhecida como pressão atmosférica. A pressão atmosférica na superfície da Terra, isto é, ao nível do mar, é conhecida experimentalmente e seu valor é de 101,325 quilopascais.
patm = 101,325kPa
À
medida que atingimos altitudes maiores, a partir do nível do mar, a
pressão atmosférica se reduz. Esse fato é muito conhecido dos alpinistas
e pára-quedistas.
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Princípio de Pascal
O princípio físico que se aplica, por exemplo,
aos elevadores hidráulicos dos postos de gasolina e ao sistema de freios e amortecedores,
deve-se ao físico e matemático francês Blaise Pascal (1623-1662). Seu enunciado é:
O acréscimo de pressão produzido num líquido
em equilíbrio transmite-se integralmente a todos os pontos do líquido.
Blaise Pascal (1623-1662), físico, matemático, filósofo religioso e homem de letras nascido na França.
Consideremos um líquido em equilíbrio colocado em
um recipiente. Vamos supor que as pressões hidrostáticas nos pontos A e B (veja a
figura) sejam, respectivamente, 0,2 e 0,5 atm.
Se através de um êmbolo comprimirmos o líquido,
produzindo uma pressão de 0,1 atm, todos os pontos do líquido , sofrerão o mesmo
acréscimo de pressão. Portanto os pontos A e B apresentarão pressões de 0,3 atm e 0,6
atm, respectivamente.
As prensas hidráulicas em geral, sistemas multiplicadores de força,
são construídos com base no Princípio de Pascal. Uma aplicação importante é
encontrada nos freios hidráulicos usados em automóveis, caminhões, etc. Quando se
exerce uma força no pedal, produz-se uma pressão que é transmitida integralmente para
as rodas através de um líquido, no caso, o óleo.
A figura seguinte esquematiza uma das aplicações práticas da prensa
hidráulica: o elevador de automóveis usado nos postos de gasolina.
O ar comprimido, empurrando o óleo no tubo
estreito, produz um acréscimo de pressão (D p), que pelo
princípio de Pascal, se transmite integralmente para o tubo largo, onde se encontra o
automóvel.
Sendo D p1 = D p2 e lembrando que D p = F/A
, escrevemos:
Como A2 > A1 , temos F2 > F1 , ou seja, a intensidade da força é diretamente proporcional à área do tubo. A prensa
hidráulica é uma máquina que multiplica a força aplicada.
Por outro lado, admitindo-se que não existam perdas na máquina, o
trabalho motor realizado pela força do ar comprimido é igual ao trabalho resistente
realizado pelo peso do automóvel. Desse modo, os deslocamentos – o do automóvel e o
do nível do óleo – são inversamente proporcionais às áreas dos tubos:
t 1 = t 2 è F1d1 = F2d2
Mas na prensa hidráulica ocorre o seguinte:
Comparando-se com a expressão anterior, obtemos:
pressão em um Líquido - Stevin
Constatação experimental da pressão no seio de um líquido
Varias experiências evidenciam a pressão suportada por ume
superfície mergulhada no seio de um líquido em equilíbrio Dentre elas citaremos apenas
e experiência realizada com a cápsula
manométrica . A cápsula manométrica consta
essencialmente de uma caixa dotada de uma membrana elástica . A caixa é ligada a um tubo
em forma de U por meio de um condutor flexível.
Nos ramos do tubo em U colocamos um líquido colorido. Pelo desnível
do liquido nos ramos do tubo analisamos a pressão exercida sobre a membrana elástica da
capsula.
Inicialmente o líquido alcança o mesmo nível em ambos os ramos do
tubo como se vê na figura. Isto se dá porque a pressão exercida na superfície livre do
liquido contido no ramo esquerdo é a mesma pressão exercida sobre a superfície da
membrana; esta pressão é a pressão
atmosférica.
Se você introduzir e cápsula no
seio de um líquido em equilíbrio contido num recipiente, notará que se estabelece um
desnível nos ramos do tubo em U, fato que comprova a existência de uma força imposta
pelo líquido na superfície de membrana, ou seja, comprova a existência de pressão que
o líquido exerce sobre a membrana da cápsula A força exercida pelo líquido é
perpendicular à superfície da membrana, pois caso contrário a componente tangencial
dessa força arrastaria a cápsula, o que não ocorre na prática.
À medida que você aprofunda a cápsula no líquido o desnível no
tubo em U aumenta, mostrando que a pressão exercida pelo líquido cresce com a
profundidade. Num mesmo ponto, no seio do líquido, você pode girar a capsula à vontade
sem acarretar alteração no desnível nos ramos do tubo em U, significando este fato que
a pressão independe da orientação da superfície da membrana elástica da cápsula.
A pressão exercida pelo líquido na membrana da cápsula a dita
pressão hidrostática. Se à pressão hidrostática adicionarmos a pressão exercida pela
atmosfera sobreposta ao líquido teremos a chamada pressão absoluta .
Do que ficou dito até o momento,
você conclui que no seio de um líquido a uma dada profundidade a pressão é igual em
todos os pontos. Em outras palavras se considerarmos um plano paralelo à superfície do
líquido a pressão será a mesma em todos os pontos deste plano. Dados agora dois pontos
A e B, localizados em diferentes profundidades, no seio do líquido, qual será a
diferença de pressão de um ponto para outro? A resposta a essa pergunta á dada peio
Principio de Stevin que passamos a enunciar.
Principio fundamental da Hidrostática ( Princípio de Stevin)
"A diferença entre as pressões em dois pontos considerados no
seio de um líquido em equilíbrio (pressão no ponto mais profundo e a pressão no ponto
menos profundo) vale o produto da massa especifica do líquido pelo módulo da
aceleração da gravidade do local onde é feita a observação, pela diferença entre as
profundidades consideradas."
A partir do Teorema de Stevin podemos concluir :
è A pressão aumenta com a profundidade. Para pontos situados na superfície livre, a pressão correspondente é igual à exercida pelo gás ou ar sobre ela. Se a superfície livre estiver ao ar atmosférico, a pressão correspondente será a pressão atmosférica, patm .
Na figura abaixo tem-se o gráfico da pressão p em função da profundidade h.
è A superfície livre dos líquidos em equilíbrio é horizontal.
